Ficha 01 · AOP — configurações lineares e filtros activos
- Analisar AOP ideal
- Calcular ganho de inversor, somador e diferencial
- Dimensionar filtro Butterworth 2ª ordem
Grupo I · Verdadeiro / Falso (20 pts)
Indica V ou F e corrige as afirmações falsas.
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(2 pts) O amplificador operacional ideal tem impedância de entrada infinita e impedância de saída zero.
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(2 pts) A "regra de ouro" do AOP com realimentação negativa diz que V⁺ = V⁻ e que as correntes de entrada são nulas.
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(2 pts) No amplificador inversor com R1 = 10 kΩ e Rf = 100 kΩ, o ganho é +10.
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(2 pts) O seguidor de tensão (buffer) tem ganho de tensão igual a 1 e impedância de saída muito baixa.
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(2 pts) Um AOP com GBW = 1 MHz configurado com ganho de 100 tem frequência de corte superior de 10 kHz.
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(2 pts) O amplificador diferencial (subtractor) com R1 = R2 = R3 = R4 tem ganho igual a R4/R3.
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(2 pts) O filtro activo de 2ª ordem Sallen-Key Butterworth atenua a –40 dB/dec acima da frequência de corte.
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(2 pts) Um AOP sem realimentação opera como comparador — a saída vai para ±Vsat conforme a diferença entre as entradas.
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(2 pts) O slew rate do AOP limita o ganho disponível para sinais de alta amplitude e alta frequência.
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(2 pts) O amplificador de instrumentação usa dois AOPs para obter CMRR elevado.
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V — AOP ideal: Zin = ∞ e Zout = 0 por definição.
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V — Regras de ouro: V⁺ = V⁻ (tensão diferencial nula) e I⁺ = I⁻ = 0 (sem corrente de entrada).
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F — O amplificador inversor tem ganho Av = –Rf/R1 = –10 (negativo — inversão de fase). O ganho de +10 seria do não-inversor.
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V — O seguidor de tensão (feedback directo, Rf = 0) tem Av = 1, Zin → ∞ e Zout → 0.
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V — GBW = Av × fH → fH = GBW/Av = 1 MHz / 100 = 10 kHz ✓
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F — O amplificador diferencial com R1=R2=R3=R4 tem ganho Rf/R1 = R4/R3 = 1. Se Rf = R4 ≠ R1 = R3, então Av = R4/R3 = Rf/R1. A afirmação está essencialmente certa mas os símbolos podem causar confusão — com todas as resistências iguais, Av = 1.
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V — Butterworth 2ª ordem: –40 dB/década acima de fc (–12 dB/oitava).
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V — Sem realimentação, o enorme ganho em malha aberta leva qualquer diferença positiva ou negativa à saturação ±Vsat.
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V — Para uma sinusoide de Vp e frequência f: taxa de variação máxima = 2πf×Vp. Se 2πf×Vp > SR, a saída não consegue acompanhar o sinal → distorção.
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F — O amplificador de instrumentação usa três AOPs (dois buffers de entrada + um diferencial de saída) para obter CMRR elevado e Zin muito alta.
Grupo II · Calcular ganho e saída de 3 circuitos AOP (40 pts)
Circuito A — Amplificador inversor (12 pts)
Dados: R1 = 2,2 kΩ, Rf = 47 kΩ, V⁺ = 0 V, Vin = 0,15 V DC.
a) Calcula o ganho Av. (4 pts)
b) Calcula Vout. (4 pts)
c) Qual a impedância de entrada do circuito? (4 pts)
a) Ganho: $$A_v = -\frac{R_f}{R_1} = -\frac{47000}{2200} = \textbf{–21,4}$$
b) Vout: $$V_{out} = A_v \times V_{in} = -21{,}4 \times 0{,}15 = \textbf{–3,21 V}$$
Verificar que não satura: com alimentação ±15 V, Vsat ≈ ±13 V. |–3,21 V| < 13 V → não satura ✓
c) Impedância de entrada: $$Z_{in} = R_1 = \textbf{2,2 kΩ}$$ (O ponto V⁻ está a terra virtual, portanto a impedância vista da entrada é R1.)
Circuito B — Somador inversor (16 pts)
Dados: R1 = 10 kΩ, R2 = 10 kΩ, R3 = 20 kΩ, Rf = 40 kΩ. Entradas: V1 = +1 V, V2 = –0,5 V, V3 = +0,8 V.
a) Escreve a fórmula geral de Vout para o somador inversor. (4 pts)
b) Calcula Vout com os valores dados. (8 pts)
c) Se V1, V2, V3 forem sinais de áudio (AC), descreve o que o circuito faz. (4 pts)
a) Fórmula geral: $$V_{out} = -R_f \left(\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + \frac{V_3}{R_3}\right)$$
b) Cálculo: $$V_{out} = -40k \left(\frac{1}{10k} + \frac{-0{,}5}{10k} + \frac{0{,}8}{20k}\right)$$ $$= -40k \left(0{,}0001 - 0{,}00005 + 0{,}00004\right)$$ $$= -40k \times 0{,}00009$$ $$= -40000 \times 0{,}00009 = \textbf{–3,6 V}$$
Verificação: - Contribuição V1: –40k × (1/10k) = –4 V - Contribuição V2: –40k × (–0,5/10k) = +2 V - Contribuição V3: –40k × (0,8/20k) = –1,6 V - Total: –4 + 2 – 1,6 = –3,6 V ✓
c) Para sinais de áudio: O circuito funciona como um mixer de áudio: soma os 3 canais de áudio (com ganhos diferentes — V3 tem ganho efectivo de 40k/20k = 2, V1 e V2 têm ganho 40k/10k = 4). A inversão de fase (180°) não é audível numa mistura de áudio.
Circuito C — Amplificador diferencial (12 pts)
Dados: R1 = R2 = R3 = R4 = 10 kΩ. Entradas: V1 = 2,35 V, V2 = 2,68 V (tensão de modo comum ≈ 2,5 V, diferencial ≈ 0,33 V).
a) Calcula Vout. (6 pts)
b) Se V1 e V2 forem ambos 2,5 V (puro modo comum), qual seria Vout ideal? (3 pts)
c) Qual a utilidade prática deste circuito? (3 pts)
a) Vout: $$A_v = \frac{R_f}{R_1} = \frac{10k}{10k} = 1$$ $$V_{out} = A_v \times (V_2 - V_1) = 1 \times (2{,}68 - 2{,}35) = \textbf{0,33 V}$$
b) Com puro modo comum (V1 = V2 = 2,5 V): $$V_{out} = 1 \times (2{,}5 - 2{,}5) = \textbf{0 V}$$
O amplificador diferencial ideal rejeita completamente o sinal de modo comum.
c) Utilidade prática: Medir a diferença entre dois sinais enquanto rejeita o sinal de modo comum. Útil para: - Medição de tensão num ponto de um circuito referenciado a outra massa - Eliminar o ruído de 50 Hz da rede (induzido igualmente nos dois fios de um sensor) - Amplificar o sinal diferencial de uma ponte de Wheatstone (sensores de pressão, força, temperatura)
Grupo III · Dimensionar filtro passa-baixo activo 2ª ordem com fc = 1 kHz (40 pts)
Exercício 1 · Escolha da topologia e parâmetros (10 pts)
a) Que topologia de filtro activo permite obter –40 dB/dec com apenas um AOP? (4 pts)
b) Para um filtro Butterworth, qual é o valor de Q? O que significa fisicamente? (6 pts)
a) A topologia Sallen-Key de 2ª ordem (ou filtro de múltipla realimentação MFB) permite obter –40 dB/dec com apenas 1 AOP. Na Sallen-Key de ganho unitário, usa-se 2 resistências, 2 condensadores e 1 AOP (seguidor de tensão na saída).
b) Q = 0,707 = 1/√2 para o filtro Butterworth.
Fisicamente, Q = 0,707 significa que os pólos do filtro estão posicionados de forma a obter a resposta mais plana possível na passband (sem pico de ressonância antes da frequência de corte). É o compromisso óptimo entre planura na passband e declividade fora da banda. Q < 0,707 daria resposta subamortecida (com pico antes de fc).
Exercício 2 · Cálculo dos componentes (20 pts)
Para a topologia Sallen-Key com ganho unitário (A₀ = 1), R1 = R2 = R, C1 = C2 = C:
a) Escreve a fórmula de fc em função de R e C. (4 pts)
b) Escolhendo C = 10 nF, calcula R para fc = 1 kHz. (8 pts)
c) Que valor normalizado E24 escolhes para R? Calcula a fc real com esse valor. (8 pts)
a) Fórmula de fc: $$f_c = \frac{1}{2\pi R C}$$
b) Cálculo de R: $$R = \frac{1}{2\pi f_c C} = \frac{1}{2\pi \times 1000 \times 10 \times 10^{-9}} = \frac{1}{2\pi \times 10^{-5}} = \frac{1}{62832 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0{,}06283} = \textbf{15{,}92 kΩ}$$
c) Valor normalizado E24:
A série E24 inclui: ..., 12 kΩ, 13 kΩ, 15 kΩ, 16 kΩ, 18 kΩ, ...
O mais próximo de 15,92 kΩ é 15 kΩ (erro = –5,8%) ou 16 kΩ (erro = +0,5%).
Escolher 16 kΩ (erro mínimo): $$f_c(real) = \frac{1}{2\pi \times 16000 \times 10 \times 10^{-9}} = \frac{1}{2\pi \times 160 \times 10^{-6}} = \frac{1}{1{,}0053 \times 10^{-3}} = \textbf{995 Hz}$$
A fc real = 995 Hz (erro de –0,5% em relação ao alvo de 1 kHz) — excelente.
Exercício 3 · Verificação e comportamento (10 pts)
a) Calcula o ganho do filtro a f = 2 kHz (2× fc). (5 pts)
b) A que distância em dB se encontra o ganho a f = 10 kHz (10× fc) do ganho na passband? (5 pts)
a) Ganho a f = 2 kHz = 2fc:
Para filtro Butterworth 2ª ordem: $$|H(f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (f/f_c)^{2n}}} \quad (n = 2)$$ $$|H(2f_c)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (2)^4}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 16}} = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{1}{4{,}123} = \textbf{0,2425}$$ $$\text{Em dB: } 20 \log_{10}(0{,}2425) = \textbf{–12,3 dB}$$
b) Ganho a f = 10 kHz = 10fc: $$|H(10f_c)| = \frac{1}{\sqrt{1 + 10^4}} \approx \frac{1}{100} = 0{,}01$$ $$\text{Em dB: } 20 \log_{10}(0{,}01) = \textbf{–40 dB}$$
A 10fc (1 década acima de fc), a atenuação é –40 dB. Isto confirma a declividade de –40 dB/dec do filtro de 2ª ordem.
(Comparação: um filtro RC simples de 1ª ordem atenuaria apenas –20 dB a 10fc)